Übersicht

• Motivation: Warum binär?
• Wahrheitswerte & Symbole
• Logische Grundverknüpfungen
  • AND (Konjunktion)
  • OR (Disjunktion)
  • NOT (Negation)
• Wahrheitstabellen
• Operatorprioritäten
• Anwendungen: Schaltungen & Programmierung
• Reflexion & Aufgaben

Contents

• Motivation: Why binary?
• Truth values & symbols
• Basic logic operations
  • AND (conjunction)
  • OR (disjunction)
  • NOT (negation)
• Truth tables
• Operator precedence
• Applications: circuits & programming
• Reflection & exercises

Motivation

• Computer kennen nur zwei Zustände: 0 und 1
• Spannung an / aus — Strom fließt / fließt nicht
• Boolesche Algebra ist die Mathematik des Binären
• Sie ist die Grundlage für:
  • Digitale Schaltungen (CPU, RAM)
  • Bedingungen in der Programmierung
  • Datenbankabfragen
  • Suchmaschinen

Quelle: wikimedia.org

Motivation

• Computers only know two states: 0 and 1
• Voltage on / off — current flows / doesn't flow
• Boolean algebra is the mathematics of the binary
• It is the foundation for:
  • Digital circuits (CPU, RAM)
  • Conditions in programming
  • Database queries
  • Search engines

Source: wikimedia.org

Wahrheitswerte & Symbole

In der Aussagenlogik werden Wahrheitswerte unterschiedlich notiert:

Beispiel: Digitales Türschloss

• Code korrekt → Tür entriegelt = 1
• Code falsch → Tür bleibt verriegelt = 0

Truth Values & Symbols

In propositional logic, truth values can be written in different ways:

Example: Digital door lock

• Correct code → door unlocked = 1
• Wrong code → door stays locked = 0

Logische Verknüpfungen

Drei Grundoperatoren reichen aus, um jede logische Aussage zu formulieren:

• AND (Konjunktion) — beide müssen wahr sein
• OR (Disjunktion) — mindestens eine muss wahr sein
• NOT (Negation) — kehrt den Wahrheitswert um

Quelle: researchgate.net

Logical Operations

Three basic operators are sufficient to express any logical statement:

• AND (conjunction) — both must be true
• OR (disjunction) — at least one must be true
• NOT (negation) — inverts the truth value

Source: researchgate.net

AND-Gatter (Konjunktion)

Ergebnis: nur wahr, wenn beide Eingaben wahr sind

Beispiel: Fahrstuhl
Tür geschlossen UND Knopf gedrückt → fährt los

A	B	A ∧ B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Quelle: mrge.de

AND Gate (Conjunction)

Result: only true if both inputs are true

Example: Elevator
Door closed AND button pressed → starts moving

A	B	A ∧ B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Source: mrge.de

OR-Gatter (Disjunktion)

Ergebnis: wahr, wenn mindestens eine Eingabe wahr ist

Beispiel: Treppenhausbeleuchtung
Schalter EG ODER OG ODER beide → Licht an

A	B	A ∨ B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Quelle: mrge.de

OR Gate (Disjunction)

Result: true if at least one input is true

Example: Staircase lighting
Switch ground OR upper floor OR both → light on

A	B	A ∨ B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Source: mrge.de

NOT-Gatter (Negation)

Ergebnis: kehrt den Wahrheitswert um

Beispiel: Kühlschrank
Tür zu (Schalter gedrückt) → Lampe aus
Tür auf (Schalter frei) → Lampe an

A	¬ A
0	1
1	0

Quelle: mrge.de

NOT Gate (Negation)

Result: inverts the truth value

Example: Refrigerator
Door closed (switch pressed) → light off
Door open (switch free) → light on

A	¬ A
0	1
1	0

Source: mrge.de

Wahrheitstabellen im Überblick

Alle Grundoperationen auf einen Blick:

Aus diesen drei Grundoperationen lassen sich alle weiteren Verknüpfungen (XOR, NAND, NOR …) zusammensetzen.

Truth Tables Overview

All basic operations at a glance:

All other operations (XOR, NAND, NOR …) can be built from these three basic operations.

Operatorprioritäten

Ähnlich wie in der Mathematik (Punkt vor Strich) gibt es feste Regeln:

1. NOT (¬) — höchste Priorität
2. AND (∧) — mittlere Priorität
3. OR (∨) — niedrigste Priorität

Klammern überschreiben die Reihenfolge.

Operator Precedence

Similar to mathematics (multiply before add) there are fixed rules:

1. NOT (¬) — highest precedence
2. AND (∧) — medium precedence
3. OR (∨) — lowest precedence

Parentheses override the order.

Anwendung: Digitale Schaltungen

• Jeder Computer besteht aus Millionen Logikgattern
• Aus AND, OR, NOT entstehen:
  • Addierer — rechnet binäre Zahlen
  • Flip-Flops — speichern ein Bit
  • Register, RAM, CPU
• Ein moderner Prozessor hat > 10 Milliarden Transistoren
• Jeder Transistor schaltet — im Kern: ein Logikgatter

Application: Digital Circuits

• Every computer is built from millions of logic gates
• From AND, OR, NOT we build:
  • Adders — compute binary numbers
  • Flip-flops — store one bit
  • Registers, RAM, CPU
• A modern processor has > 10 billion transistors
• Each transistor switches — essentially: a logic gate

Anwendung: Programmierung

Boolesche Ausdrücke steuern Bedingungen in jedem Programm:

passwort = input("Passwort: ")
nutzer_aktiv = pruefe_konto(name)

if passwort == richtiges_passwort and nutzer_aktiv:
    zugriff_erlauben()
else:
    zugriff_verweigern()

• and = AND-Verknüpfung — beide Bedingungen müssen wahr sein
• or, not funktionieren analog
• Ohne Boolesche Algebra wäre keine Verzweigung in Programmen möglich

Application: Programming

Boolean expressions drive conditions in every program:

password = input("Password: ")
user_active = check_account(name)

if password == correct_password and user_active:
    allow_access()
else:
    deny_access()

• and = AND operation — both conditions must be true
• or, not work analogously
• Without Boolean algebra, no branching in programs would be possible

Ist Boolesche Algebra eine fundamentale Idee?

Überprüfung anhand der vier Kriterien (Schwill, 1993):

Is Boolean Algebra a Fundamental Idea?

Evaluation using the four criteria (Schwill, 1993):

Fragen?

Sitzungsreflexion

franke-lab.de/lehre/sose/fundidee/reflexion.html?sitzung=6

Artefakte & Reflexion verfassen → HTML kopieren → in Mahara einfügen

To Do's:

• e-Portfolio aktualisieren (Reflexion Sitzung 6)
• Logic Gate Simulator ausprobieren
• Einstein-Rätsel im Tandem lösen

Questions?

Session Reflection

franke-lab.de/lehre/sose/fundidee/reflexion.html?sitzung=6

Write artifacts & reflection → copy HTML → paste into Mahara

To Do's:

• Update e-portfolio (reflection session 6)
• Try the logic gate simulator
• Solve the Einstein puzzle in tandems